On an Application of the Definition Field Descent of a Tower of Function Fields

— Let us consider an algebraic function field defined over a finite Galois extension K of a perfect field k. We recall some elementary conditions allowing the descent of the definition field of the algebraic function field from K to k. We apply these results to the descent of the definition field of a tower of function fields. We give explicitly the equations of the intermediate steps of an Artin-Schreier type extension reduced from Fq2 to Fq . By applying these results to a completed GarciaStichtenoth’s tower we improve the upper bounds and the upper asymptotic bounds of the bilinear complexity of the multiplication in finite fields. Résumé (Sur une application de la descente des corps de définition aux tours de corps de fonctions) Considérons un corps de fonctions algébriques défini sur une extension galoisienne finie K d’un corps parfait k. Nous rappelons quelques conditions élémentaires permettant la descente du corps de définition du corps de fonctions algébriques de K à k. Nous appliquons ces résultats à la descente du corps de définition d’une tour de corps de fonctions. Nous donnons explicitement les équations des étapes intermédiaires de la réduction de Fq2 à Fq d’une extension d’Artin-Schreier. En appliquant ces résultats à une tour de Garcia-Stichtenoth complétée nous améliorons les limites supérieures et les limites asymptotiques supérieures de la complexité bilinéaire de la multiplication dans les corps finis.